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RRB ALP CBT-1 · 16 Feb 2026 · Shift 3 — गणित

RRB Assistant Loco Pilot (ALP) · पिछले साल का प्रश्न पत्र

RRB ALP CBT-1 · 16 Feb 2026 · Shift 3 — गणित (Mathematics) के 25 प्रश्न, सही उत्तर और हिंदी-अंग्रेज़ी स्पष्टीकरण सहित।
1.
एक इलेक्ट्रॉनिक्स स्टोर ₹51,000 मूल्य के लैपटॉप पर दो क्रमिक छूट प्रदान करता है। पहली छूट 10% है और दूसरी छूट 5% है। दोनों छूट के बाद अंतिम मूल्य कितना होगा?
An electronics store offers two successive discounts on a laptop priced at ₹51,000. The first discount is 10%, and the second discount is 5%. What is the final price after both discounts are applied?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

₹43,605

अंतिम मूल्य = 51000 × 0.90 × 0.95 = 45900 × 0.95 = 43605। अतः उत्तर ₹43,605 है।
Final price = 51000 × 0.90 × 0.95 = 45900 × 0.95 = 43605. So the answer is ₹43,605.
2.
निखिल ने अपनी साइकिल रवि को 24% हानि पर बेची। रवि ने उसकी मरम्मत पर ₹486 खर्च किए और साइकिल को विकास को ₹2,875 में बेचकर 15% लाभ कमाया। निखिल के लिए साइकिल का लागत मूल्य ज्ञात कीजिए।
Nikhil sold his cycle to Ravi at a loss of 24%. Ravi spent ₹486 on its repairs and sold the cycle to Vikas for ₹2,875, thereby making a profit of 15%. Find the cost price of the cycle for Nikhil.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

₹2,650

रवि की कुल लागत = 2875 ÷ 1.15 = 2500। उसका क्रय मूल्य = 2500 − 486 = 2014। निखिल का क्रय मूल्य = 2014 ÷ 0.76 = 2650। अतः उत्तर ₹2,650 है।
Ravi's total cost = 2875 ÷ 1.15 = 2500. His buying price = 2500 − 486 = 2014. Nikhil's CP = 2014 ÷ 0.76 = 2650. So the answer is ₹2,650.
3.
यदि संख्या 6785234 में प्रत्येक सम अंक में से 2 घटा दिया जाए तथा प्रत्येक विषम अंक में 1 जोड़ दिया जाए, तो नई संख्या में कितने अंक एक से अधिक बार आएँगे?
If 2 is subtracted from each even digit and 1 is added to each odd digit in the number 6785234, then how many digits will appear more than once in the new number?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

दो
Two

6785234 → 6−2=4, 7+1=8, 8−2=6, 5+1=6, 2−2=0, 3+1=4, 4−2=2, नई संख्या 4866042। अंक 4 और 6 दोहराए गए हैं। अतः उत्तर दो (Two) है।
6785234 → 6−2=4, 7+1=8, 8−2=6, 5+1=6, 2−2=0, 3+1=4, 4−2=2, giving 4866042. Digits 4 and 6 repeat. So the answer is Two.
4.
यदि संख्या 6785234 में प्रत्येक सम अंक में से 2 घटा दिया जाए तथा प्रत्येक विषम अंक में 1 जोड़ दिया जाए, तो निर्मित नई संख्या में कितने अंक एक से अधिक बार आएंगे?
If 2 is subtracted from each even digit and 1 is added to each odd digit in the number 6785234, how many digits will appear more than once in the new number thus formed?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

दो
Two

6785234 → 6−2=4, 7+1=8, 8−2=6, 5+1=6, 2−2=0, 3+1=4, 4−2=2, नई संख्या 4866042। अंक 4 और 6 दोहराए गए हैं। अतः उत्तर दो (Two) है।
6785234 → 6−2=4, 7+1=8, 8−2=6, 5+1=6, 2−2=0, 3+1=4, 4−2=2, giving 4866042. Digits 4 and 6 repeat. So the answer is Two.
5.
उस सेट का चयन कीजिए जिसमें संख्याएं उसी प्रकार से संबंधित हैं जिस प्रकार से निम्नलिखित सेटों की संख्याएं संबंधित हैं। (नोट: संख्याओं को उनके घटक अंकों में तोड़े बिना संक्रि याएं पूर्ण संख्याओं पर की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए 13 लीजिए –13 पर संक्रि याएं, जैसे कि 13 में जोड़ना/घटाना/गुणा करना आदि, की जा सकती हैं। 13 को 1 और 3 में तोड़ना तथा फिर 1 और 3 पर गणितीय संक्रि याएं करने की अनुमति नहीं है।) (156,12,13) (126,14,9)
Select the set in which the numbers are related in the same way as are the numbers of the following sets. (NOTE : Operations should be performed on the whole numbers, without breaking down the numbers into its constituent digits. E.g. 13 – Operations on 13 such as adding / subtracting /multiplying etc. to 13 can be performed. Breaking down 13 into 1 and 3 and then performing mathematical operations on 1 and 3 is not allowed) (156,12,13) (126,14,9)
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

(176,16,11)

पहली संख्या = दूसरी × तीसरी: 12 × 13 = 156, 14 × 9 = 126। जाँच: 16 × 11 = 176। अतः उत्तर (176,16,11) है।
First number = second × third: 12 × 13 = 156, 14 × 9 = 126. Check: 16 × 11 = 176. So the answer is (176,16,11).
6.
दो ट्रेनें, A और B, जिनकी लंबाई क्रमशः 180 m और 220 m है, समानांतर पटरियों पर विपरीत दिशाओं में चल रही हैं। वे 12 सेकंड में एक-दूसरे को पार कर लेती हैं। यदि वही दोनों ट्रेनें एक ही दिशा में चलती हैं, तो तेज़ चाल वाली ट्रेन द्वारा धीमी चाल वाली ट्रेन को पूर्ण रूप से पार करने में 60 सेकंड लगते हैं। तेज़ चाल वाली ट्रेन की चाल (km/h में) ज्ञात कीजिए।
Two trains, A and B, of lengths 180 m and 220 m, respectively, are running on parallel tracks in opposite directions. They cross each other in 12 seconds. If the same two trains are moving in the same direction, they take 60 seconds for the faster train to completely cross the slower one. Find the speed (in km/h) of the faster train.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

72

कुल लंबाई = 400 m। चालों का योग = 400 ÷ 12 = 100/3 m/s; अंतर = 400 ÷ 60 = 20/3 m/s। तेज़ ट्रेन = (100/3 + 20/3) ÷ 2 = 20 m/s = 20 × 18/5 = 72 km/h।
Total length = 400 m. Sum of speeds = 400 ÷ 12 = 100/3 m/s; difference = 400 ÷ 60 = 20/3 m/s. Faster = (100/3 + 20/3) ÷ 2 = 20 m/s = 20 × 18/5 = 72 km/h.
7.
एक दुकानदार ₹10,000 अंकित मूल्य की एक वस्तु पर 20% और 30% की दो क्रमिक छूटें प्रदान करता है, जिससे उसे वस्तु के क्रय मूल्य पर 12% का लाभ प्राप्त होता है। वस्तु का क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
A shopkeeper allows two successive discounts of 20% and 30% on an article with a marked price of ₹10,000, thereby earning a profit of 12% on the cost price of the article. Find the cost price and the selling price of the article.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

क्रय मूल्य = ₹5,000, विक्रय मूल्य = ₹5,600
Cost price = ₹5,000, selling price = ₹5,600

विक्रय मूल्य = 10000 × 0.8 × 0.7 = 5600। क्रय मूल्य = 5600 ÷ 1.12 = 5000। अतः क्रय मूल्य = ₹5,000, विक्रय मूल्य = ₹5,600।
SP = 10000 × 0.8 × 0.7 = 5600. CP = 5600 ÷ 1.12 = 5000. So cost price = ₹5,000, selling price = ₹5,600.
8.
एक कर्मचारी के वेतन में पहले 20% की वृद्धि होती है और फिर 10% की वृद्धि होती है। वेतन में कुल प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।
The salary of an employee is first increased by 20% and then again increased by 10%. What is the total percentage increase in the salary?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

32%

कुल गुणक = 1.20 × 1.10 = 1.32। अतः कुल वृद्धि 32% है। (या 20 + 10 + 20 × 10/100 = 32%।)
Net factor = 1.20 × 1.10 = 1.32. So the total increase is 32%. (Or 20 + 10 + 20 × 10/100 = 32%.)
9.
एक सेल के दौरान, 48% माल 31% लाभ पर बेचा जाता है, शेष का 25% माल 16% लाभ पर बेचा जाता है, और शेष माल को 32% हानि पर बेचा जाता है। यदि कुल लाभ x% है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
During a sale, 48% of the goods are sold at a 31% profit, 25% of the remaining goods are sold at a 16% profit, and the rest are sold at a loss of 32%. If the overall profit is x%, what is the value of x?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

4.48

माना 100 इकाई। 48 पर 31% लाभ = 14.88; शेष 52 का 25% = 13 पर 16% लाभ = 2.08; 39 पर 32% हानि = −12.48। कुल = 14.88 + 2.08 − 12.48 = 4.48। अतः x = 4.48।
Take 100 units. 48 at 31% profit = 14.88; 25% of remaining 52 = 13 at 16% = 2.08; 39 at 32% loss = −12.48. Net = 14.88 + 2.08 − 12.48 = 4.48. So x = 4.48.
10.
पंकज, मीरा और अशोक ने क्रमशः ₹62,000, ₹70,000 और ₹83,000 का निवेश करके एक व्यवसाय शुरू किया। वर्ष के अंत में, कुल लाभ ₹75,500 था। कुल लाभ का 14% दान में दे दिया गया और शेष राशि को उनके बीच लाभ के अनुपात में वितरित किया गया। अशोक का हिस्सा (₹ में) कितना होगा?
Pankaj, Meera, and Ashok invest ₹62,000, ₹70,000, and ₹83,000, respectively, to start a business. At the end of the year, the total profit earned is ₹75,500. 14% of the total profit earned is given to charity and the rest is divided among them in the ratio of their profit. What will be the share of Ashok (in ₹)?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

25,066

बाँटी जाने वाली राशि = 75500 × 0.86 = 64930। अनुपात 62 : 70 : 83 (योग 215)। अशोक = 64930 × 83 ÷ 215 = 302 × 83 = 25066। अतः उत्तर 25,066 है।
Amount shared = 75500 × 0.86 = 64930. Ratio 62 : 70 : 83 (total 215). Ashok = 64930 × 83 ÷ 215 = 302 × 83 = 25066. So the answer is 25,066.
11.
किसी संख्या के एक तिहाई में 17 की वृद्धि की जाए तो परिणाम 72 प्राप्त होता है। मूल संख्या के अंकों का योगफल ज्ञात कीजिए।
When the one-third of a number is increased by 17, the result is 72. Find the sum of the digits of the original number.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

12

x/3 + 17 = 72, अतः x/3 = 55 और x = 165। अंकों का योग = 1 + 6 + 5 = 12।
x/3 + 17 = 72, so x/3 = 55 and x = 165. Sum of digits = 1 + 6 + 5 = 12.
12.
नल A एक टैंक को 30 मिनट में खाली कर सकता है। नल B इसे 15 मिनट में खाली कर सकता है। यदि दोनों नल एक साथ चलते हैं, तो टैंक को खाली करने में कितना समय लगेगा?
Tap A can empty a tank in 30 minutes. Tap B can empty it in 15 minutes. If both taps work together, how long will it take to empty the tank?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

10 मिनट
10 minutes

एक मिनट में दोनों = 1/30 + 1/15 = 3/30 = 1/10 टंकी। समय = 10 मिनट।
Together per minute = 1/30 + 1/15 = 3/30 = 1/10 of the tank. Time = 10 minutes.
13.
कितनी धनराशि (₹ में) पर 6% वार्षिक साधारण ब्याज दर से 2 वर्ष में ₹480 ब्याज अर्जित होगा?
What sum (in ₹) will earn an interest of ₹480 in 2 years at 6% simple interest per year?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

4000

मूलधन = साधारण ब्याज × 100 ÷ (दर × समय) = 480 × 100 ÷ (6 × 2) = 4000। अतः उत्तर 4000 है।
P = SI × 100 ÷ (R × T) = 480 × 100 ÷ (6 × 2) = 4000. So the answer is 4000.
14.
निम्नलिखित आंकड़ों का बहुलक क्या है? 89, 89, 64, 86, 64, 79, 81, 85, 82, 81, 75, 85, 82, 84, 61, 82, 81, 64, 74, 71, 61, 68, 77, 64, 79
What is the mode of the following data? 89, 89, 64, 86, 64, 79, 81, 85, 82, 81, 75, 85, 82, 84, 61, 82, 81, 64, 74, 71, 61, 68, 77, 64, 79
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

64

64 चार बार आता है; 81 और 82 तीन-तीन बार, 89, 85, 79 और 61 दो-दो बार। सबसे अधिक बार आने वाला मान 64 है, अतः बहुलक 64 है।
64 occurs 4 times; 81 and 82 occur 3 times each, 89, 85, 79 and 61 twice. The most frequent value is 64, so the mode is 64.
15.
निम्नलिखित में से कौन-सा अनुपात सबसे बड़ा है?
Which of the following ratios is the largest?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (क)

21 : 36

दशमलव मान: 25/43 ≈ 0.581, 18/31 ≈ 0.581, 21/36 ≈ 0.583, 17/30 ≈ 0.567। सबसे बड़ा अनुपात 21 : 36 है।
Decimal values: 25/43 ≈ 0.581, 18/31 ≈ 0.581, 21/36 ≈ 0.583, 17/30 ≈ 0.567. The largest is 21 : 36.
16.
यह प्रश्न नीचे दिए गए तीन अंकों वाली पांच संख्याओं पर आधारित है। (बाएं) 627 458 347 491 567 (दाएं) (उदाहरण- 697 – पहला अंक = 6, दूसरा अंक = 9 और तीसरा अंक = 7) यदि दूसरी सबसे बड़ी संख्या के दूसरे अंक को सबसे छोटी संख्या के तीसरे अंक में जोड़ा जाए, तो परिणाम क्या प्राप्त होगा?
This question is based on the five, three-digit numbers given below. (Left) 627 458 347 491 567 (Right) (Example- 697 – First digit = 6, second digit = 9 and third digit = 7) What will be the resultant if the second digit of the second highest number is added to the third digit of the lowest number?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

13

आरोही क्रम: 347, 458, 491, 567, 627। दूसरी सबसे बड़ी 567 का दूसरा अंक 6; सबसे छोटी 347 का तीसरा अंक 7। 6 + 7 = 13।
Ascending: 347, 458, 491, 567, 627. Second highest 567 has second digit 6; lowest 347 has third digit 7. 6 + 7 = 13.
17.
दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) = 12 और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = 924 है। यदि इनमें से एक संख्या 84 है, तो दूसरी संख्या क्या है?
Two positive integers have HCF = 12 and LCM = 924. If one of the numbers is 84, what is the other number?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

132

दोनों संख्याओं का गुणनफल = महत्तम समापवर्तक × लघुत्तम समापवर्त्य। दूसरी संख्या = 12 × 924 ÷ 84 = 11088 ÷ 84 = 132।
Product of numbers = HCF × LCM. Other number = 12 × 924 ÷ 84 = 11088 ÷ 84 = 132.
18.
गोपाल ने अपने दो पोतों, 13 वर्षीय अक्षय और 14 वर्षीय अतुल के बीच ₹25200 इस प्रकार वितरित किए कि 23 वर्ष की आयु होने पर दोनों को बराबर राशि प्राप्‍त होगी। तब तक यह राशि बैंक में 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर पर जमा रहेगी जहां ब्‍याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है। गोपाल ने अतुल के नाम पर कितनी राशि (₹ में) जमा की?
Gopal distributed ₹25200 between his two grandsons 13-year-old Akshay and 14-year- old Atul such that they get equal money when they turn 23 years old. Till then the money is in a bank getting compound interest at 10% per annum, compounded annually. How much (in ₹) Gopal deposited in the name of Atul?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

13200

अक्षय की राशि 10 वर्ष और अतुल की 9 वर्ष बढ़ती है। A × 1.1¹⁰ = B × 1.1⁹ से B = 1.1A। A + 1.1A = 25200, अतः A = 12000 और अतुल के नाम जमा B = 13200।
Akshay's money grows 10 years, Atul's 9 years. A × 1.1¹⁰ = B × 1.1⁹ gives B = 1.1A. A + 1.1A = 25200, so A = 12000 and Atul's deposit B = 13200.
19.
निम्नलिखित में से कौन-सा अनुपात न्यूनतम है?
Which of the following ratios is the least?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

8 : 15

दशमलव मान: 7/13 ≈ 0.538, 4/7 ≈ 0.571, 5/9 ≈ 0.556, 8/15 ≈ 0.533। सबसे छोटा अनुपात 8 : 15 है।
Decimal values: 7/13 ≈ 0.538, 4/7 ≈ 0.571, 5/9 ≈ 0.556, 8/15 ≈ 0.533. The least is 8 : 15.
20.
पांच व्यक्ति यों V, W, X, Y और Z में से प्रत्येक की एक निश्चित आयु है। Y की आयु X की आयु की चार गुना है। V की आयु X की आयु की दो गुना है। Y की आयु W की आयु की पांच गुना है। W की आयु 12 वर्ष है। यदि Z की आयु V ​की आयु की तीन गुना है, तो Z की आयु कितनी है?
Among five people named V, W, X, Y and Z, each have a certain age. Y is four times the age of X. V is two times the age of X. Y is five times the age of W. The age of W is 12. If Z is thrice the age of V, what is the age of Z?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (अ)

90

W = 12, अतः Y = 5 × 12 = 60। X = 60 ÷ 4 = 15, V = 2 × 15 = 30। Z = 3 × 30 = 90।
W = 12, so Y = 5 × 12 = 60. X = 60 ÷ 4 = 15, V = 2 × 15 = 30. Z = 3 × 30 = 90.
21.
एक दुकानदार ₹10,000 अंकित मूल्य वाले एक उत्पाद पर 20% और 30% की दो क्रमिक छूटें देता है। फिर भी उसे उत्पाद के क्रय मूल्य पर 12% का लाभ होता है। उत्पाद का क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य क्या है?
A shopkeeper offers two successive discounts of 20% and 30% on a product marked at ₹10,000. He still makes a profit of 12% on the cost price of the product. What is the cost price and selling price of the product?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

क्रय मूल्य = ₹5,000, विक्रय मूल्य = ₹5,600
Cost price = ₹5,000, Selling price = ₹5,600

विक्रय मूल्य = 10000 × 0.8 × 0.7 = 5600। क्रय मूल्य = 5600 ÷ 1.12 = 5000। अतः क्रय मूल्य = ₹5,000, विक्रय मूल्य = ₹5,600।
SP = 10000 × 0.8 × 0.7 = 5600. CP = 5600 ÷ 1.12 = 5000. So cost price = ₹5,000, selling price = ₹5,600.
22.
एक वस्तु की कीमत ₹1600 थी। पहले वर्ष में इसमें 15% की वृद्धि और दूसरे वर्ष में 20% की वृद्धि हुई। दो वर्ष बाद वस्तु की कीमत (₹ में) कितनी होगी?
The price of an article was ₹1600. It increased by 15% in the first year and by 20% in the second year. What is the price (in ₹) of the article after two years?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ड)

2208

मूल्य = 1600 × 1.15 × 1.20 = 1840 × 1.20 = 2208। अतः उत्तर 2208 है।
Price = 1600 × 1.15 × 1.20 = 1840 × 1.20 = 2208. So the answer is 2208.
23.
किसी बंटन में, यदि माध्यि का 42 है तथा बहुलक 36 है, तो माध्य का मान ज्ञात कीजिए।
In a distribution, if the median is 42 and the mode is 36, then find the value of the mean.
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

45

आनुभविक संबंध: बहुलक = 3 × माध्यिका − 2 × माध्य। 36 = 3 × 42 − 2 × माध्य, अतः 2 × माध्य = 126 − 36 = 90 और माध्य = 45।
Empirical relation: Mode = 3 × Median − 2 × Mean. 36 = 3 × 42 − 2 × Mean, so 2 × Mean = 126 − 36 = 90 and Mean = 45.
24.
राज के पास 8 cm त्रिज्या का एक गोल आकार का केक था। उसने उसे चॉकलेट में डुबोकर फ्रीजर में रख दिया। कुछ समय बाद उसने देखा कि केक पर चॉकलेट की 2 cm मोटी परत जम जाती है। चॉकलेट में डुबोने के बाद केक के पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?
Raj had a cake in the shape of a sphere of radius 8 cm. He then dipped it in chocolate and kept it in the freezer. After some time, he observed that the chocolate formed a layer of thickness 2 cm over the cake. What is the percentage increase of the surface area of the cake after it is dipped in chocolate?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

56.25 %
56.25%

नई त्रिज्या = 8 + 2 = 10 cm। पृष्ठीय क्षेत्रफल ∝ r², अतः अनुपात = 10² ÷ 8² = 100 ÷ 64 = 1.5625। वृद्धि = 56.25%।
New radius = 8 + 2 = 10 cm. Surface area ∝ r², so ratio = 10² ÷ 8² = 100 ÷ 64 = 1.5625. Increase = 56.25%.
25.
50 cm भुजा वाला एक ओटोमन, एक 6-भुजीय सफेद घनीय पासे का आवर्धित रूप है, जिसके फलकों पर 1 से 6 तक काले वृत्तीय बिंदु उत्कीर्ण हैं। यदि प्रत्येक उत्कीर्ण बिंदु 10 cm व्यास वाला एक वृत्त है, तो घनाकार पासे के उस भाग का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (cm² में, निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित) ज्ञात कीजिए, जिसपर कुछ उत्कीर्ण नहीं है।
An ottoman with side 50 cm is a magnified version of a 6-sided white cubical die with black circular spots from 1 to 6 engraved on its faces. If each engraved spot is a circle of diameter 10 cm, what is the total surface area (in cm², rounded off to the nearest integer) of the cubical die that is not engraved?
उत्तर व स्पष्टीकरण देखें

उत्तर: (ब)

13351

कुल पृष्ठ = 6 × 50² = 15000 cm²। बिंदु = 1 + 2 + … + 6 = 21, प्रत्येक π × 5² ≈ 78.54 cm², कुल ≈ 1649.3 cm²। बिना उकेरा भाग ≈ 15000 − 1649.3 = 13350.7 ≈ 13351।
Total surface = 6 × 50² = 15000 cm². Spots = 1 + 2 + … + 6 = 21, each π × 5² ≈ 78.54 cm², total ≈ 1649.3 cm². Unengraved ≈ 15000 − 1649.3 = 13350.7 ≈ 13351.

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